Festiwal Matematyki 2019

Niektóre funkcje mają dla matematyki duże znaczenie i dzięki temu zyskują rozgłos – każdy matematyk z pewnością słyszał o funkcji zeta Riemanna i potrafi na pierwszy rzut oka rozpoznać krzywą Gaussa. Podczas wykładu odbędziemy spacer aleją takich sław.

Zarówno matematycy, jak i informatycy kochają funkcje. Na pozór funkcje te są zupełnie różne w swojej naturze, ale czy na pewno? W czasie wykładu spróbujemy odkryć różnice pomiędzy funkcją matematyczną a funkcją w informatyce. W jaki sposób komputer rozumie funkcje? Czy każdą funkcję matematyczną da się zaprogramować? Zastanowimy się w końcu, czy deterministyczny komputer może zachowywać się tak, jakby los nie był przesądzony.

Matematyka, choć głównie uważana za naukę abstrakcyjną, oderwaną od rzeczywistości, towarzyszy nam w codziennym życiu już od wielu tysięcy lat. Na przykładzie funkcji okresowych postaramy się przedstawić ten swoisty dualizm teoretyczno-praktyczny. Niczym bohater jednej z popularnych książek odbędziemy podróż tam i z powrotem. Wychodząc od prostych codziennych sytuacji, odkryjemy na pozór prosty powtarzalny, lecz w gruncie rzeczy niesłychanie złożony, świat funkcji okresowych. „Schodząc na ziemię” zauważymy, że ten matematyczny świat nie jest wcale tak odległy jakby się mogło wydawać i czai się na wyciągniecie… telefonu komórkowego.

Na każdym kroku, czy to w przyrodzie, czy w życiu codziennym, nie mówiąc już o matematyce, mamy do czynienia z przyporządkowaniem, np.: każdy dom ma przyporządkowany numer, każde państwo ma swoją flagę, każdej książce przyporządkowujemy jej autora, każdej matce przyporządkowujemy jej dziecko, każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowujemy jej liczbę przeciwną, planetom przyporządkowujemy księżyc (księżyce). Nie wszystkie przytoczone przykłady przyporządkowań są funkcjami. Zatem jakie warunki muszą spełniać przyporządkowania, by zaliczyć je do grona funkcji?
Podczas wykładu pokażemy także, jak badać wspomniane własności funkcji z wykorzystaniem darmowych narzędzi TI.

Izometrie to też funkcje. Niektóre z nich znamy ze szkoły: przesunięcie o wektor, obrót wokół pewnego punktu, symetrię osiową. Ich wspólną cechą jest to, że nie zmieniają odległości między punktami, a co za tym idzie, zachowują kształt przekształcanej figury. Zabawy z izometriami są pretekstem do nauczenia się składania przekształceń

Zadaniem funkcji haszującej (zwanej również funkcją skrótu lub funkcją mieszającą) jest generowanie „odcisku palca” pliku, komunikatu lub innego bloku danych. Funkcja haszująca generuje unikalny skrót (ciąg znaków) o stałej długości dla konkretnych danych. Danymi mogą być ciągi znaków, zdjęcia, archiwa czy obraz płyty kompaktowej. Istotne jest, że wynik działania funkcji skrótu jest taki sam na niezmienionych danych. Ważne jest również to, aby taka funkcja była jednokierunkowa. Znaczy to tyle, że na podstawie skrótu nie jesteśmy w stanie wygenerować danych, z którego on powstał. Dlatego też funkcje haszujące wykorzystuje się między innymi do sprawdzania haseł, weryfikacji plików (suma kontrolna) czy podpisów cyfrowych.

Z każdą funkcją wiążą się dwa zbiory: jej dziedzina i przeciwdziedzina. Można zatem używać pewnych funkcji do porównywania liczb elementów zbiorów.

Niezmiennikiem nazywamy własność obiektów, która zostaje zachowana po poddaniu ich wybranym przekształceniom. Służą one zazwyczaj do wykazywania, że za pomocą danych funkcji nie można przekształcić jednego obiektu w drugi.

Wspomniane twierdzenie Banacha ma następującą, anegdotyczną formę. Wyrzućmy z okna samolotu mapę Polski. Jeśli spadnie ona na Polskę, to pewien punkt naszego kraju i jego odpowiednik na mapie znajdą się w tym samym miejscu. Na wykładzie wyjaśnię dlaczego tak jest i opowiem czym jest słynna przestrzeń Banacha.

Zarówno matematycy, jak i informatycy kochają funkcje. Na pozór funkcje te są zupełnie różne w swojej naturze, ale czy na pewno? W czasie wykładu spróbujemy odkryć różnice pomiędzy funkcją matematyczną a funkcją w informatyce. W jaki sposób komputer rozumie funkcje? Czy każdą funkcję matematyczną da się zaprogramować? Zastanowimy się w końcu, czy deterministyczny komputer może zachowywać się tak, jakby los nie był przesądzony.

Na każdym kroku, czy to w przyrodzie, czy w życiu codziennym, nie mówiąc już o matematyce, mamy do czynienia z przyporządkowaniem, np.: każdy dom ma przyporządkowany numer, każde państwo ma swoją flagę, każdej książce przyporządkowujemy jej autora, każdej matce przyporządkowujemy jej dziecko, każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowujemy jej liczbę przeciwną, planetom przyporządkowujemy księżyc (księżyce). Nie wszystkie przytoczone przykłady przyporządkowań są funkcjami. Zatem jakie warunki muszą spełniać przyporządkowania, by zaliczyć je do grona funkcji?
Podczas wykładu pokażemy także, jak badać wspomniane własności funkcji z wykorzystaniem darmowych narzędzi TI.